上數學課時,老師給我們一支 15cm 尺,要我們畫線。這支尺沒有全部的刻度,只有 1 451113 ,老師問:「你們可不可以用這支尺,畫出長度為整數 1~15cm 的線?畫線要一筆畫不可用接的。」於是激起我們的興趣,就開始研究這個「刻度很少,卻能量出 1 15跟直尺長度相同的所有整數公分長」的尺。

 

X博士摘要說明】

  1. 這支 15cm 尺所使用的刻度可不可以再少一點?
  2. 尺的長度和所用的刻度個數有沒有關係?
  3. 這些刻度很少的尺,可以量出最長的長度是多少?
  4. 長度最長的尺,刻度要如何訂定?
  5. 訂這些刻度有沒有什麼規律?

 

46 國小數學科作品

題目:神奇的尺

作者:屏東縣屏東市忠孝國民小學的同學們

 

【摘要(原文)

本研究探討一支刻度很少而長度為整數 K公分的節約尺,這支尺可以從 1公分、2公分、3公分、…,量到 K公分,我們找出最大的 K,並且探討尺的間隔數和尺長的關係。我們發現有 N個間隔,一定會產生(N+1)*N/2 種間隔,尺長不會超過(N+1)*N/2公分。我們還找出了間隔組合總數的算法,當間隔數越多,間隔組合總數就越驚人,從幾十萬筆資料中,我們找出了 1~8個間隔的最佳解。當我們把這些間隔組合總數算法所形成的數列排在一起,發現這些數列竟然和巴斯卡三角形有關。

 

X博士步驟說明】

五個刻度(1451113),如何畫出15公分的直線?

 投影片2  

15公分尺用 5 個刻度 1451113 可以畫出長度為整數 1~15公分的線,用 4 個刻度不能。

 

●尺長和間隔個數有沒有關係?

如果這把尺有 N 個間隔,幾種間隔的算法就是 (N+1)*N/2 種間隔。

 投影片3  

如果這把尺產生的 (N+1)*N/2 種間隔的長度沒有重覆,尺長就是 (N+1)*N/2 公分。

 

間隔組合總數的算法

 投影片4  

如果間隔數是m,尺長是 K,那麼第一個間隔組合的前面m1 個間隔長度是 1,最後一個間隔長度就是 K(m1)。以下我們把間隔組合總數的算法推廣到一般情形。

3 個間隔組合總數是 12345

4 個間隔組合總數是 136101521283645556678

5 個間隔組合總數是 141020355685120165220286

我們把這些數列排在試算表,發現一些有趣的現象:

 

巴斯卡三角形

 投影片5  

 

數據分析與結論

這次我們做了「神奇的尺」這個題目,才發現尺只用幾個刻度,可畫出由 1公分開始到15公分尺長的線,不過還是需要一定的刻度數量,而且方法也不只一種呢!剛開始間隔少時,最佳解還好找,不過,到了五個間隔時,數量多了,算得頭都昏了,所以我們利用電腦的 EXCEL 裡的公式-COUNTIF 來找。間隔變多了,間隔組合變化也跟著變多,算間隔組合總數的算式,變得越來越長,實在看得眼花撩亂!當我們把這些間隔組合總數的數列排在一起,竟然看到了巴斯卡三角形,這尺的確是很神奇呀!

 

以下是評審給的評語

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X博士評語】

巴斯卡是十七世紀的一位法國數學家,也是歷史上第一位發明了加法計算機的人!數學中有許多秘密都隱藏在巴斯卡三角形裡!另一方面,尺是數學領域中常常用來測量的工具,如果尺上刻太多數字,會顯得特別密集,而此科展作品告訴我們可以用簡單幾個刻度就可以量出我們要的長度,如此一來,我們就不需要將每個刻度都寫出來,能有更簡單的方法。