「有一個四位數 ABCD,乘以 4 後得到的答案是 DCBA,請問這個四位數是多少?」。答案為 2178─2178×48712。然後我們想到:若這個題目的被乘數為二位到多位,會有什麼樣的答案?如果乘數換成其他正整數,又會有什麼發展?於是我們便著手研究。

 

X博士摘要說明】

  1. 出在十進位制中,符合A1×A2×A3……Am-2×Am-1×Am × NAm×Am-1×Am-2……A3×A2×A1 m位數。
  2. 承一,並求出解答之形式及答案數量。
  3. 求出十二進位~二進位的鏡子乘法解,並探求其形式及數量。
  4. 證明各進位的鏡子乘法解之一般性

 

47 國小數學科作品

題目:數字的鏡子乘法

作者:臺北縣三峽鎮三峽國民小學的同學們

 

【摘要(原文)

我們研究的題目是屬於「覆面算」的一種題型。探討在 n 進位制中,符合

A1×A2×A3……Am-2×Am-1×Am × NAm×Am-1×Am-2 ……A3×A2×A1 m 位被乘數,其中 N2(n1)n 為該進位制的「基數」。並歸納在所有進位制中,解答的一般性。

 

X博士步驟說明】

探求被乘數 413 位的解答(1~3無解)

 投影片2  

在此我們的觀察以答案的「形式」為主,在同一個被乘數位數中:

○第一種形式,是前兩位為 21、末兩位為 78,中間皆是 9

○除了上述形式,其他答案可分成若干「段」,且每「段」的「長度」有大有小,排列呈現迴文數的性質。

※鏡子乘法解形式猜想:多位數皆由二位或四位的「原始解」「擴張」而成,就如2178的擴張方式。

 

鏡子乘法解的數目

若將被乘數的位數以「奇」「偶」來分類,觀察它們的解答數目:

 投影片3  

解答數目的數列,正是「費氏數列」。

 

各進位制中的共同點

鏡子乘法解形式猜想:多位數皆由二位或四位的「原始解」「擴張」而成。

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●歸納其形式變化

n 位中總有一種形式的解答,就是: 10(n-2)(n-1) × (n-1)(n-1)(n-2)01,其中 n 是該進位制的基數。我們將十~二進位的 10(n-2)(n-1) × M 的乘積列表觀察,而圖中最上方藍色的數字就是原始解

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數據分析與結論

○我們給出了十~三進位(除了八進位)鏡子乘法解28位數之形式和其數量。

○同學們發現及證得了適用各進位制的兩個定理:林氏定理、江莊定理。

○除了 3 進位外,奇進位制的一種二位數形式解。

○推測了十~三進位的鏡子乘法解數目。

○留下鏡子乘法原始解的最終形式猜想。

 

以下是評審給的評語

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X博士評語】

一開始十進位的數字乘法中,我們可以看出這些數字的組合,都跟2178這四個數字有關係,沒想到延伸到九~二進位時,發現每個數字的組合都有屬於自己的原始解,能夠細心地尋找出這些原始解的過程,想必花費了一番苦心,而這些數字變化的奧妙,說明數學真是一門神奇的學問。